Probabilidade

Professor: Lupércio F. Bessegato

Livro Texto: meyer, P.l. Probabilidade: aplicações à estatística. 2ª edição, Rio de Janeiro: LTC

O objetivo deste curso é apresentar aos alunos conceitos e técnicas fundamentais de probabilidades, referentes ao tratamento de variáveis aleatórias e de suas funções, capacitando-os à utilização destes conceitos na análise e modelagem de dados.

As listas de exercícios devem ser resolvidas com o objetivo de prepará-lo para as avaliações.

Você pode precisar ler arquivos em formato PDF que devem ser lidos com o software gratuito .

Pacotes Estatísticos

É fortemente incentivado o uso de algum pacote computacional para o acompanhamento prático da disciplina ou na execução de alguma das Listas de Exercícios.

O R é um pacote voltado para a comunidade estatística que é inteiramente livre. Há muito material de apoio disponível. Sugiro iniciarem por:

- Contributed Documentation do CRAN (Comprehensive R Archive Network);

- Página pessoal do prof. Paulo Justiniano Ribeiro Jr.

- E. A. Reis. Noções Básicas de S-PLUS for Windows^®. RTE-03/1997, EST-ICEx-UFMG, Belo Horizonte, 1997 (disponível através da homepage de relatórios técnicos do EST ou diretamente em ftp://ftp.est.ufmg.br/pub/rts/rte9703.pdf).

Para aqueles que prefiram o Minitab, recomendo:

- Relatório Técnico "Introdução ao Software Minitab for Windows ®", de J.F. Soares e M.D.F. Rodrigues, publicado pelo Departamento de Estatística da UFMG (download: Arquivo ).

- Meet Minitab (apostila em português)

- Notas de aulas de Métodos Computacionais – Especialização Estatística

Leitura Recomendada

Recomendo a leitura do livro: Desafio aos Deuses: a Fascinante História do Risco, de Peter L. Bernstein. É uma leitura agradável que, além de contar a evolução do pensamento estocástico, conta-nos os problemas que suscitaram a reflexão sistemática e exata sobre a natureza do risco, o impulso derivado da matematização da idéia de chance e probabilidade e sua extensão a praticamente todos os campos da atividade humana.

Sugiro a leitura do livro: O Andar do Bêbado, de Leonard Mlodinow. Ainda não li este livro, mas pareceu-me muito interessante. “...Prepare-se para colocar em xeque algumas certezas sobre o funcionamento do mundo e para perceber que muitas coisas são tão previsíveis quanto o próximo passo de um bêbado depois de uma noitada...” Leiam e compartilhem suas impressões!
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Introdução à Probabilidade

Recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 1 do livro texto, para sedimentar os conceitos.

Lista de Exercícios:

Lista # 1: (pg. 23 a 25), exercícios: 1.1, 1.4, 1.6, 1.10, 1.11, 1.18. Entrega em 18/08.

Lista # 2: Exercícios passados em sala.

Lista # 3: Exercícios (Probabilidade) 3, 4, 5, 6, 7 de probabilidade. Baixar aqui. Entrega em: 25/08

Probabilidade Condicionada e Independência

Recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 3 do livro texto, para sedimentar os conceitos. Atenção com o conceito e com os resultados envolvendo probabilidade condicionada e independência. Eles são muito importantes no desenvolvimento da disciplina. É muito importante o uso do Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes em aplicações. Aqui você encontrará exemplos de aplicação que desenvolveremos em sala. Estude-os e monte sua solução para discussão em sala na próxima aula.

Lista de Exercícios:

Lista # 4: Baixar aqui . Entrega em 27/08, alguns serão antecipados em sala e incluídos na Lista #2

Lista # 5: (pg. 60 a 65), exercícios: 3.2, 3.3, 3.4, 3.9, 3.10, 3.17, 3.20, 3.25. Entrega em 01/09

Lista # 6: Exemplos de aplicação. Baixar Aqui. Entrega em 03/09.

Lista # 7: Exercícios do livro Probability: the science of uncertainty, Michael Bean, pág. 77 (cópia xérox em sala e/ou arquivo digitalizado aqui):
Entrega em 08/09.

§ Exercícios: 11, 12, 14, 17, 18, 19, 20.

Espaços Amostrais Finitos

Recomenda-se que sejam efeitos os exemplos deste capítulo para entender bem os conceitos e aplicações. Atenção com a expressão “escolha ao acaso” e com o conceito de espaço equiprovável. É bem importante entender as condições para aplicação de contagem.

Lista de Exercícios:

Lista # 8: Baixar aqui. Corrigir a numeração o pdf para lista #8. Entrega em 10/09.

Variáveis Aleatórias Unidimensionais

É um capítulo chave para o desenvolvimento da disciplina. Seu entendimento é crucial, ou seja, não há quase que nenhum espaço para dúvidas, assim, recomenda-se que sejam solucionados todos os exercícios do Capítulo 4 do livro texto, para sedimentar os conceitos. Cuidado com armadilhas em sua leitura e interpretação e saibam distinguir variáveis aleatórias discretas e contínuas e mistas em qualquer situação. A lista #8 traz exercícios de cunho teórico que são importantes para a consolidação de conceitos e na manipulação do ferramental matemático. Como novidade em relação ao livro-texto, esta lista traz vários exercícios referentes a distribuições mistas. O primeiro cuidado será sua identificação e posterior tratamento.

Lista de Exercícios:

Lista # 9: (pg. 92 a 96), exercícios: 4.2, 4.3, 4.4, 4.11, 4.15, 4.25. Entrega em 17/09.

Lista #10: Baixar aqui. Corrigir a numeração do pdf para Lista #10. Entrega em 17/09.

Funções de Variáveis Aleatórias

É um capítulo que traz dificuldades adicionais, manipulando com muitos conceitos matemáticos de funções, domínios de funções, derivação e integração. Revisem-nos e aproveitem as aulas para tirarem suas dúvidas. No decorrer da disciplina utilizaremos bastante os conceitos e as propriedades expostos neste capítulo. O importante é não restarem dúvidas, com relação à correta aplicação do ferramental ora apresentado. A lista # 11 remete àquelas transformações entre variáveis que estaremos demonstrando no decorrer da disciplina. Pesquisem nos livros de referência a expressão daquelas densidades que vocês ainda não conhecem.

Lista de Exercícios:

Lista # 11: Baixar aqui . Levantem as dúvidas para sua solução em nossa próxima aula. Entrega em 29/09.

Variáveis Aleatórias de Duas ou Mais Dimensões

É um capítulo extremamente importante para a compreensão do restante da disciplina. É fundamental em qualquer modelagem. De agora em diante os conceitos de distribuição conjunta, distribuição marginal, distribuição condicionada irão permear o desenvolvimento da disciplina. Há ferramentas matemáticas que devem estar dominadas para a execução dos exercícios. Exercitem-nas à exaustão.

Lista de Exercícios:

Lista # 12: (pg. 134 a 136), exercícios: 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.14. Entrega em 06/10/2009

Lista # 13: Baixar aqui. Atenção: Não usar os conceitos de distribuição marginal ou de distribuição condicional. Entrega em 13/10/2009.

Lista # 14: Baixar aqui. Atenção: Muito cuidado na determinação dos extremos de integração e do domínio das variáveis transformadas. Entrega em 15/09/2007.

Lista #15: Baixar aqui. Usar o pacote computacional de sua preferência (Excel, Minitab, R, Matlab, ...). A entrega tornada obrigatória em função do adiamento da 2ª. Prova. Será uma excelente ilustração das transformações que estudamos. Procurem-me caso necessitem de ajuda na montagem.

Caracterização Adicional das Variáveis Aleatórias

No caso univariado, introduzem-se os principais parâmetros de uma distribuição de probabilidade: sua média (ou esperança), sua variância, seus momentos. No caso bivariado o importante conceito de covariância e de coeficiente de correlação. As definições, conceitos e propriedades são muito importantes, além da habilidade em aplicá-los e manuseá-los. Como uma importante aplicação, apresentamos Risco e Retorno no contexto de Administração Financeira.

Lista de Exercícios:

Lista # 14B: (pg. 179 a 185), exercícios: 7.1, 7.2, 7.6, 7.9, 7.10, 7.14, 7.28, 7.33. Discussão e entrega voluntária em 20/10/2009. O exercício 7.33 fornece um resultado bastante valioso.

Lista # 16: (pg. 179 a 185), exercícios: 7.16, 7.26, 7.29 e os exercícios do arquivo em pdf que serão escolhidos em sala na próxima aula (dia 20/10/09), Baixar aqui. Discussão e entrega e discussão em 22/10/2009.

Lista # 17: Exercício da Plataforma do Trem (Ross) e cálculo variância da triangular.

Lista # 18: Soma da binomial negativa.

Lista #19: Primeiro e segundo momentos da binomial e da geométrica

Algumas Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas

Discutidas as variáveis aleatórias discretas mais importantes, ou sejam, aquelas relacionadas com experimentos binomiais: Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica e a importante distribuição de Poisson. Recomenda-se sejam efetuados todos os exercícios do Capítulo 8.

No caso das variáveis contínuas, é extremamente importante que a distribuição normal seja muito bem entendida, inclusive com relação ao cálculo de probabilidades e o uso da tabela normal padronizada. As integrais serão efetuadas constantemente. O importante, neste caso, é identificar os núcleos de densidades nos integrandos para serem utilizados na resolução da integral os resultados provados em sala (ou em lista), quais sejam: a função de densidade de probabilidade, a esperança e o segundo momento das diversas variáveis estudadas. Os gráficos das densidades devem estar entendidos.

Lista de Exercícios:

Lista # 20: (pg. 179 a 185), exercícios: 8.3, 8.4, 8.5, 8.7, 8.11, 8.15, 8.16, 8.17, 8.22, 8.24.

Lista # 21: Exercícios passados em sala: variância Laplace, momentos da exponencial, etc.

Lista # 22: (pg. 179 a 185), exercícios: 9.2 e 9.3, 9.4, 9.6, 9.15, 9.17, 9.32, 9.34, 9.38 e exercícios avulsos passados em sala. Entrega em 24/11/09

Lista #23: Baixar aqui . Entregar os exercícios: 1, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20, na data de 08/11/2007. Recomenda-se a resolução dos demais.

Distribuição Normal Bivariada

É uma distribuição conjunta para duas variáveis normais, ambas normais e a princípio dependentes. Tem propriedades muito importantes que devem ser bem compreendidas. Ela é extensamente utilizada em Probabilidade e Inferência.

Lista de Exercícios:

Lista # 24: Baixar aqui. Não é necessária sua entrega.

Função Geradora de Momentos

Ferramenta importante na determinação de distribuição de soma de variáveis aleatórias independentes. Suas propriedades simplificam o cálculo dos momentos de variáveis aleatórias e na verificação de convergência de Variáveis aleatórias e propriedades assintóticas de distribuições.

Lista de Exercícios:

Lista # 25: (pg. 260 a 262), exercícios: 10.3, 10.6, 10.8, 10.7, 10.18, 10.19. Não é necessária sua entrega.

Respostas e Soluções

Soluções e respostas de alguns exercícios.

Lista de Exercícios:

Soluções & Respostas: Baixar aqui. Levantem as dúvidas para discussão em sala ou por meio eletrônico.